Martingale \((X_n)_{n\in\Bbb N}\)
Processus adapté à valeur réelles et \(\in L^1\) pour lequel on a : $$\forall n\in{\Bbb N},\qquad {\Bbb E}[X_{n+1}|{\mathcal F}_n]=X_n.$$
- on dit qu'on a une surmartingale (resp. sous-martingale) si on a à la place de l'égalité l'inégalité \(\leqslant\) (resp. \(\geqslant\))
- interprétation d'une martingale : \(X_n\) représente la fortune d'un joueur à l'instant \(n\) lors d'un jeu équitable
- pour une surmartingale (resp. Sous-martingale), \(X_n\) représente la fortune d'un joueur dans un jeu défavorable (resp. Favorable)
- \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une surmartingale \(\iff\) \((-X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une sous-martingale
- si \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une martingale, on a \(\forall n\leqslant m\), \({\Bbb E}[X_m|{\mathcal F}_n]=\) \(X_n\) et \(n\mapsto\) \({\Bbb E}[X_n]\) est constante
- si \((X_n)_{n\in\Bbb N}\) est une surmartingale (resp. Sous-martingale), on a \(\forall n\leqslant m\), \({\Bbb E}[X_m|{\mathcal F}_n]\geqslant X_n\) (resp. \(\leqslant\)), et \(n\mapsto {\Bbb E}[X_n]\) est croissante (resp. Décroissante)
(
Espérance conditionnelle)
